Родилась в подмосковном дачном посёлке Ленино (Царицыно), в скромной рабочей семье. Отец, инженер по образованию, работал железнодорожником. Мать была домохозяйкой, воспитывала двоих дочерей, из которых Галя была старшей. В школе Галина училась хорошо, увлекалась литературой и драматургией. У неё был замечательный педагог по физике, страстный театрал. Например, чтобы попасть в МХАТ на знаменитые «Дни Турбиных», он ехал на ночь в кассу театра, чтобы занять очередь за билетами. Свою безумную любовь к театру он привил и своим ученикам, организовав в школе драмкружок. В основном, ставили классику — «Ревизор», «Горе от ума» и другие пьесы. В результате из школы, где училась Галя, вышло тридцать восемь артистов. Среди них оказалась и Галина Кожакина.
После школы Галина поступила в ГИТИС, который с отличием закончила в 1947 году. После этого она начала работать в Театре Сатиры. Именно там к ней пришла настоящая известность. Это произошло после премьеры фильма Татьяны Лукашевич «Свадьба с приданым», который был поставлен на основе знаменитого спектакля в постановке Бориса Равенских. Веселая и задорная Люба Бубенчикова в исполнении Галины Кожакиной надолго осталась в памяти зрителей. За эту роль в 1951 году Галина Ивановна получила Сталинскую премию III степени.
С 1955 по 2011 год — актриса ЦАТСА.
Умерла 21 июля 2020 года в Москве.