Родился 13 марта (26 марта по новому стилю) 1905 года в Москве.
Его отец — Лев Львович Потёмкин (1879—1943) — работал телеграфистом. Мать — София Михайловна Потёмкина (в девичестве Григорьева) — была домашней хозяйкой, занималась воспитанием сына и дочери. В 1907 году она рассталась с мужем и в дальнейшем растила детей самостоятельно.
Окончил 5-ю Санкт-Петербургскую гимназию, в которой учился до осени 1917 года. После этого семья Потёмкиных уехала в Симбирск и, прожив там одну зиму, в 1918 году вернулась в Москву.
В 1922 году, окончив филиал 5-й Московской гимназии, Лев Потёмкин начал свой творческий путь в качестве актёра в коллективе социально-героического театра под руководством В. И. Крылова, а затем перешёл в классический театр имени Россова.
Как драматический актёр работал в московских театрах:
в 1922—1939 годах — в Классическом театре имени Россова;
в 1939—1945 годах — в Государственном Новом театре (Московском драматическом);
в 1945—1950 годах — в Театре-студии киноактёра;
В 1950—1964 годах — в Московской оперетте.
В 1928 году Потёмкин женился на актрисе Нине Михайловне Сытиной, и в 1929 году супружеская чета работала в государственном центральном ТЮЗе.
После начала Великой Отечественной войны Потёмкин 1 августа 1941 года был направлен в город Горький для прохождения учёбы в сержантской школе, но вскоре его по приказу командования откомандировали в связи с назначением на должность начальника клуба. В качестве руководителя клуба Потёмкин организовал ансамбль Красной художественной самодеятельности, с которым разъезжал по фронтам войны. Весной 1942 года его выступление посмотрел маршал Ворошилов, после чего в декабре этого же года Льва Львовича откомандировали в Москву. Затем до демобилизации в 1945 году он служил в составе ансамбля Московского военного округа.
Потёмкин — исполнитель гротесковых ролей в фильмах 1940—1960-х годов. Сподвижник Александра Роу и участник съёмок почти всех его киносказок. Соавтор сценария фильма «Финист — Ясный сокол». Вёл работу по озвучиванию мультфильмов.
Актёр вёл активную общественную жизнь, был председателем месткома, организовывал шефские концерты. В Московском театре Театре оперетты, где служил Потемкин с 1950 года, после смерти Г. Ярона прошло большое сокращение штата в 1964-м, и среди уволенных оказался и Лев Львович.
Последние два года он тяжело болел и жил в Доме ветеранов сцены имени А. А. Яблочкиной.
Умер 2 марта 1989 года. Похоронен на Пятницком кладбище.