Она родилась в Орле 7 ноября 1914 года. Через три года Настя осталась круглой сиротой и попала в школу-коммуну. Затем в фабрично-заводском училище осваивала слесарное и токарное дело, работала на машиностроительном заводе и играла в самодеятельном театре «Живая газета», который в 1929 году был преобразован в Театр юного зрителя.
В 16 лет Анастасия поехала покорять столицу, где устроилась в Московский театр юного зрителя. В 1931 году поступила в ГИТИС. Н. Литовцева, жена В. Качалова, стала ее педагогом по актерскому мастерству. Институт Анастасия окончила в 1936 году, тогда же ее приняли в труппу МХАТа. К слову, этому театру она оставалась верна на протяжении всей жизни.
В прославленном театре Георгиевская дебютировала в крохотном эпизоде в спектакле «Земля», где ее партнерами были В. Качалов, О. Книппер-Чехова, И. Москвин, О. Андровская. Затем молодая актриса получила роли в спектаклях «Синяя птица», «Соперники». В 1939 году состоялся настоящий дебют Георгиевской в роли Таисии («Достигаев и другие»). В том же году сыграла миссис Даджен («Ученик дьявола»). В 1940 году Художественный театр осуществил новую постановку «Трех сестер» А. Чехова. В этом спектакле 25-летняя Георгиевская сыграла роль Наташи, достигнув в знаменательной для нее работе «бесспорного эффекта характерности». Георгиевская создала образ мещанки до мозга костей – глупой, вульгарной, по-чеховски смешной в своих безмерных претензиях.
Более пятидесяти лет актриса с неизменным успехом выступала на сцене МХАТа не только в классическом, но и в современном репертуаре. Галерея разнообразных героинь Георгиевской отмечена редкой правдивостью несхожих образов. Ее искусство отличалось глубоким проникновением в сущность характеров, эмоциональной заразительностью и остро отточенной сценической формой. Игра Георгиевской нередко создавала иллюзию, будто на сцену случайно попала какая-то проводница поезда (мать Валентина в спектакле «Валентин и Валентина») или, как на спектакле «Сталевары», настоящая хозяйка пивного ларька, разбитная и по-своему добрая.
Среди множества ролей, сыгранных Георгиевской за долгую жизнь на сцене, – Ксения («Егор Булычев и другие») и Анна («На дне»), Потапова («Битва в пути») и Пошлепкина («Ревизор»), Обноскина («Село Степанчиково и его обитатели»), Карпухина («Дядюшкин сон») и др. Виртуозный мастер «жизненной правды», Георгиевская обладала особым даром «вживания в образ». Театральная легенда утверждает, что она могла бы играть и без партнеров.
Народная артистка СССР Алла Тарасова писала о Георгиевской: «Жар сердца, который чувствуется во всем, что бы она ни делала, – вот то удивительное качество, которым Георгиевская покоряла и зрителей, и артистов. Ее образы хочется сравнить с яркими, удивительно самобытными картинами Кустодиева».
1951 году Георгиевская за исполнение роли в спектакле «Вторая любовь» была удостоена Сталинской премии второй степени. В этом же году она начала сниматься в кино.