Родился Москве, в семье актёра Игоря Ясуловича и Натальи Егоровой. В 1989 году окончил театральное училище имени Б. В. Щукина (курс Л. В. Калиновского). В 1990—1991 годах играл в Театре-студии киноактёра. В кино дебютировал в 1980 году (сыграл небольшую роль — Антона Круглова) в фильме своего деда Юрия Егорова «Однажды двадцать лет спустя». Затем режиссёр Егоров пригласил Алексея на одну из главных ролей в свою следующую картину — «Отцы и деды», где партнёрами Ясуловича были Анатолий Папанов и Валентин Смирнитский. Роль Алексея Лукова в этом фильме принесла ему первую известность. Заметными так же стали его последующие работы в кинолентах «По законам военного времени», «Башня», «Тайна королевы Анны, или Мушкетёры тридцать лет спустя» и других.
Ясулович также был продюсером и режиссёром нескольких телевизионных проектов. Как режиссёр монтажа он работал над проектами «Walt Disney» и «Sony Pictures Studios», проводил мастер-классы по актёрскому мастерству на отделении «актёр мюзикла» в MGABU. Ясуловичем подготовлен и проведён кинофестиваль «Птичкино» на базе Павловской гимназии. Он проводит дополнительные занятия по основам киносъёмки, ведет занятия по актёрскому мастерству в Московском гуманитарном университете (МосГУ).