Родной племянник (сын сестры) — известный актёр Сергей Гурзо-старший. Брат — Илья Михайлович Кудрявцев был специалистом-профессионалом по древнерусской литературе, работал хранителем древнерусских рукописей в рукописном отделе ГБЛ.
Иван Кудрявцев родился 4 (16 января) 1898 года в селе Муравьищи (ныне Московская область). В 1918 году поступил в драматическую студию М. А. Чехова. В 1921 году перешёл в студию Е. Б. Вахтангова, к этому времени вошедшую в состав Художественного театра и получившую название Третьей студии МХТ. Там он проработал с 1920 по 1924 год, приняв участие в самой известной постановке Евг. Вахтангова — «Принцесса Турандот» исполнением роли Панталоне.
После смерти Е. Б. Вахтангова большинство его студийцев не желали оставаться под властью Художественного театра и требовали самостоятельности. Ситуация возникла острая, конфликт нарастал. Многие не верили, что Вахтанговская студия, потеряв своего руководителя и учителя, сумеет выжить и стать настоящим театром. В 1924 году Ю. А. Завадский ставит гоголевскую «Женитьбу», где И. Кудрявцев играет Кочкарёва; спектакль был решён в яркой гротескной манере, образы были эксцентричны и даже фантастичны; в замысел режиссёра входило показать и фатальный рок, и мистику, свойственную произведениям Гоголя, и нервозность времени; однако эти грандиозные поставленные задачи на должном уровне выполнить не удалось — спектакль провалился и очень быстро был снят с репертуара. Эта неудача сказалась на многих актёрах-вахтанговцах, а Завадский в том же году покинул директорский пост театра. Решили уйти и другие.
В 1924 году Иван Кудрявцев перешёл в МХАТ имени М. Горького, где и проработал до конца жизни..
Значительное место в деятельности актёра занимала педагогическая работа, которую он начал ещё в 1920 году и вёл до конца жизни; с 1946 года — доцент.
И. М. Кудрявцев умер 12 февраля 1966 года. Похоронен в Москве на Новодевичьем кладбище (участок № 2).