Родился 2 октября 1915 года в деревне Летяги Кинешемского уезда Костромской губернии (ныне - Вичугского района Ивановской области) в купеческой семье.Заслуженный артист РСФСР (3.11.1986).Трудовую деятельность начал контролёром по хлопку на текстильном комбинате в городе Наволоки, затем работал чертёжником в городе Комсомольске.В 1940 году окончил актёрскую школу при киностудии «Мосфильм» и был зачислен в Центральный Театр Красной Армии.С 1941 по 1945 годы участвовал в Великой Отечественной войне. После демобилизации вошёл в штат киностудии «Мосфильм» и Театра-студии киноактёра, где состоял до 1989 года.Много работал на дубляже — сначала как актёр, озвучив более 500 картин, а с 1965 года — и как режиссёр и укладчик текста. В этом качестве он выступил на фильмах «Четыре дня Наполеона», «Красные поляны», «Подсолнухи», «Первая ласточка», «Несколько интервью по личным вопросам», «Карл Маркс. Молодые годы» и других.
В начале 1990-х годов у Алексея Алексеева обнаружили рак. Была сделана операция, которая продлила жизнь актёру на несколько лет.
Ушёл из жизни 16 мая 1998 года в Москве. Похоронен актёр на кладбище "Ракитки" в Ленинском районе Московской области.