Дмитрий Власкин родился в семье врачей. Его мама была педиатром, отец работал на «скорой помощи». Когда мальчик начал занимался теннисом, его отец стал тренером по теннису. А когда Дмитрий поступил в театральный вуз, его мама тоже поступила учиться в театральный вуз и стала режиссером.Власкин готовился к карьере спортсмена. Один из американских вузов в Южной Каролине пригласил его выступать за свою команду. В 16 лет Дмитрий уехал в США: изучать психологию и участвовать в соревнованиях за честь вуза. Однако после четвертого курса бросил университет и поступил в Школу-студию МХАТ, в мастерскую Игоря Золотовицкого. Он приехал в Петербург, в гости к двоюродной сестре, учившейся на актерском, и оказался на репетиции спектакля «С любимыми не расставайтесь» по одноименной пьесе Александра Володина. Находясь в зале, он стал свидетелем чуда: режиссер показал актрисе, как лучше сыграть один момент, и актриса изменилась. После Школы-студии Дмитрия приняли в стажерскую труппу МХТ. Спустя два года он перешел в театр им. Пушкина.Играть в сериалах Дмитрий начал еще во время обучения. В 2013 году он появился в «Студии 17». В следующем году вышел фильм «Веселые ребята».В 2014 году Дмитрий Власкин работал в мини-сериале «В созвездии Стрельца», посвященном «российскому Пеле», футболисту Эдуарду Стрельцову. В 2016 году вышли фильмы с участием Дмитрия: «Красный» и «Эластико». Затем он снялся в комедийном сериале «Призрак опера». Дмитрий продолжил сниматься в «Физруке». Также он стал футболистом сборной в сериале «Большая игра» на СТС. И еще одну футбольную роль получил в сериале «Я – тренер!». В 2021 году на экраны телеканала «Россия» вышел сериал «Хозяйка горы», где Власкин исполнил роль одного из братьев. Дмитрий нашел жену в Школе-студии МХАТ: Александра Кузенкина училась параллельно, на курсе Константина Райкина. Актеры поженились в 2014 году. В 2017 году расстались, но Дмитрий не афишировал это.
В октябре 2018 года стало известно о свадьбе Дмитрия Власкина и Анны Бегуновой, звезды сериала «Кухня», чей развод с актером Сергеем Лавыгиным также не афишировался. Осенью 2019 года у супругов родилась дочь Лукерья. Счастливое событие звездные родители некоторое время скрывали от СМИ, но позже Власкин поделился радостной новостью в одном из интервью.