Окончил Всесоюзный государственный институт кинематографии (1971, мастерская С.Герасимова и Т.Макаровой).
Актерскому мастерству Анатолий Переверзев учился у Герасимова, а первые роли сыграл у Бондарчука в фильмах "Ватерлоо", "Они сражались за Родину". В 1974-м снялся на "Мосфильме" в картине "Маяковский смеется", где исполнил роль великого поэта. Но влюбившись в студентку киевского театрального института Веронику, Анатолий из столицы советской ринулся в столицу украинскую. Киностудия им. А.Довженко ежегодно снимала по 25 художественных и 35 телевизионных лент -- решили, что двум молодым талантливым актерам работы хватит. Но если Анатолию доставались хотя бы интересные эпизоды в фильмах ("Рожденная революцией" и многие другие) да роли в спектаклях Театра-студии киноактера, то Веронику просто не замечали. И когда 160 штатных актеров "довженковской" студии были отпущены "на вольные хлеба", Переверзевы отправились в Париж -- в театр "Солнце" Мнушкиной. Вероника поступила в Сорбонну. Анатолий остался в театре "Солнце". Вместе с супругой Вероникой Анатолий поставил спектакль, посвященный Анне Марли - кавалеру ордена Заслуги и Почетного Легиона, автора гимна Сопротивления "Марш партизан".
Живет во Франции, два сезона выступал на сцене знаменитого театра "Комеди Франсез".