В 1968 году Бекоев окончил ЛГИТМиК, учился у народного артиста РСФСР, профессора Леонида Макарьева. Свою первую заметную роль исполнил в грузинском короткометражном фильме "Омар Джохадзе" (реж. Коте Сурмава, 1963). Дмитрий Бекоев сыграл в этой картине роль солдата, пожертвовавшего жизнью ради спасения ребёнка. Служил в Ленинградском театре им. Ленинского Комсомола (ныне Балтийский Дом), где создал значительные, заметные и выразительные образы на сцене. Работал режиссёром в любительском театральном коллективе ДК им. Ф.Э. Дзержинского под руководством Михаила Александровича Левшина, превратившемся впоследствии в народный театр «Собеседник». Актёр много выступал в Ленконцерте, создавая очень выразительные сценки и миниатюры по произведениям Трумена Капоте, Зощенко, Платонова, Чехова и Шергина. Телезрителям актер известен по ролям в сериалах «Тайны следствия», «Улицы разбитых фонарей», фильму Александра Сокурова «Русский ковчег». Последние годы жизни Дмитрий Гаврилович отдал работе в детском театре "На Неве", в труппу которого он пришёл в начале двухтысячных.