Родился 11 марта 1926 года в Баку, Азербайджан. Сценический дебют Башира Сафароглу состоялся в раннем детстве на сцене Дома культуры имени Абилова, где его бабушка работала портнихой. Едва ему исполнилось девять лет, когда он сыграл здесь роль Гюндуза в самодеятельном спектакле "Севиль" по одноименной пьесе Джафара Джаббарлы.
Это был первый в его короткой жизни успех и первое знакомство с миром театра, который мальчик полюбил на всю жизнь. Но, увы! Определиться с выбором профессии ему помешала Вторая мировая война. Семнадцатилетним юношей Башир в 1941 году отправился на фронт, а через год после получения контузии был комиссован.
По возвращении на родину пришлось думать о хлебе насущном, и потому он выбрал профессию шофера, а любовь к театру привела Башира в драматический кружок Клуба шоферов. Здесь он и был замечен известным комиком Лютфели Абдуллаевым, который пригласил его в Театр музыкальной комедии. Перечислить весь репертуар Башира Сафароглу на сцене этого театра практически невозможно.
Помимо колоритных ролей на сцене театра Музкомедии Башир Сафароглу запомнился зрителям также по отечественным фильмам "Где Ахмед?", "Улдуз" и "Двенадцать могил Ходжи Насреддина" производства киностудии "Таджикфильм". В 1964 году актер удостаивается звания "Заслуженный артист республики", в 1968 годк ему присуждают звание "Народный артист", а спустя год, 23 марта на 44-м году жизни любимец публики навсегда простился с миром.
Дочь актера, Афаг Сафарова, является художественным руководителем театра "Башир", названного в честь отца.