Родился 15 июля 1931 года в городе Кулебаки, Горьковская область, РСФСР, СССР.
Его отец, Петр Александрович, с 14 лет работал слесарем на Кулебакском металлургическом заводе. В 1941 году он добровольцем ушёл на фронт и погиб в 1945 году. Мать, Мария Петровна, работала в торговле, была заведующей производством заводской столовой.
В 1939 году Артур стал учеником Кулебакской средней школы. В 1941 году, в связи с начавшейся войной, он вместе с мамой эвакуировался сначала в Дзержинск, затем в город Чирчик в Средней Азии. Из-за тяжёлых условий жизни и вынужденной смены нескольких школ аттестат о среднем образовании Артур получил только в 1950 году в Дзержинской средней школе № 5.
В 1950 году Артур Нищёнкин стал студентом актёрского факультета ВГИКа в мастерской Бориса Бибикова и Ольги Пыжовой. Его однокурсниками были многие впоследствии известные актёры: Руфина Нифонтова, Изольда Извицкая, Надежда Румянцева, Леонид Пархоменко, Татьяна Конюхова, Валентина Березуцкая и другие.
Окончив институт в 1955 году, Нищёнкин был принят в труппу театра-студии киноактёра. Затем в 1957 году он перевёлся в актерский штат киностудии имени Горького и проработал там ровно сорок лет.
Первые два года своей профессиональной деятельности Артур Петрович работал на дубляже, достигнув на этом поприще прекрасных результатов. Начав сниматься с 1957 года, он не оставил этого ремесла и занимался им на протяжении всей своей творческой жизни.
Как актёр снялся более чем в девяноста фильмах. Играл роли сильных мужественных героев, рабочих, военных. Среди лучших ролей: Сёмин («Матрос сошёл на берег»), Алекса («Атаман Кодр»), Егор («Огоньки»), капитан Катюшин («Анискин и Фантомас»), Кварц («Честное волшебное»), Кузьма («Тачанка с юга»), боярин Грозные очи («Возьми меня с собой»), Тутык («Приступить к ликвидации»), Том («Отряд Д»).
Жена Артура Петровича Мирра Сергеевна работала экономистом на «Мосфильме». Дочь Алла — ведущий специалист на телевидении.
Скоропостижно скончался в Москве 18 июня 2001 года, менее месяца не дожив до своего 70-летия. Похоронен актёр на Ваганьковском кладбище.