Геннадий Чулков окончил театральное училище имени М. С. Щепкина в 1959 году. Его учителями были Константин Зубов, Вениамин Цыганков, Виктор Коршунов. Затем поступил в Первый Московский областной драматический театр, главным режиссёром которого был заслуженный деятель искусств С. А. Бенкендорф. В 1961 году Чулкова пригласили в Московский театр драмы и комедии, где главным режиссёром был А. К. Плотников. С марта 1962 года служил в армии, выступал в ансамбле песни и пляски Московского военного округа. В августе 1963 года закончил службу и вернулся в прежний театр, главным режиссёром которого через год стал Юрий Любимов. В июне 1965 года Геннадий Чулков покинул театр и перешёл в Гастрольный театр комедии. В 1967 году уехал в ГДР, выступал в театре ГВСГ города Потсдама (главный режиссёр — народный артист РСФСР И. Б. Шойхет). Затем вернулся на родину, в прежний театр, который стал называться Театром Комедии Росконцерта. С 1991 года Геннадий Чулков — актёр Театра на Покровке.
В конце своей жизни уже не играл в Театре на Покровке, но после его смерти на сайте театра была опубликована статья памяти Геннадия Чулкова.
Ещё в 1964 году Чулков дебютировал как киноактёр в историко-революционном фильме «Товарищ Арсений» Ивана Лукинского. И дальше сотрудничал с Лукинским — в фильмах последнего «Истоки» (1973), «Колыбельная для мужчин» (1976; этот фильм Иван Лукинский снимал совместно с Владимиром Златоустовским). Геннадий Чулков снимался в фильмах Михаила Козакова («Визит дамы», 1989), Леонида Марягина («Враг народа — Бухарин», 1990), Вадима Абдрашитова («Армавир», 1991). Советский боевик с его участием «В зоне особого внимания» (1977) режиссёра Андрея Малюкова смотрели 35 миллионов 400 тысяч зрителей. Много сотрудничал с молдавскими режиссёрами — Василе Брескану («Все улики против него», 1973; «Фаворит», 1976; «Эмиссар заграничного центра», 1979; «О возвращении забыть», 1985; «Деревянная пушка», 1987), Валериу Гажиу («По волчьему следу», 1976; «Тревожный рассвет», 1984; «Таинственный узник», 1986; «Коршуны добычей не делятся», 1988), Василием Паскару («Большая — малая война», 1980).
Последние годы снимался в телесериалах. Сыграл небольшую роль директора интерната в популярном сериале «Ликвидация» Сергея Урсуляка (2007).
В 2017 году Геннадию Чулкову диагностировали рак желудка. Он умер после проведённой операции.