Максим Максимович Штраух в Москве. Его отец был врачом. В 1910—1918 гг. учился в Петропавловской гимназии в Москве. С 1916 года работал карикатуристом в театральном журнале «Рампа и жизнь». Затем служил в Красной армии. По окончании трёх лет службы работал актёром Первого рабочего театра Пролеткульта (1920—1924). В 1924—1929 гг. — артист и режиссёр-ассистент фабрики «Госкино» (ныне — киностудия Ленфильм).
В 1929—1931 годах — актёр и режиссёр Театра им. В. Э. Мейерхольда, с 1932 года — актёр и режиссёр Театра Революции (с 1943 года — Московский театр драмы, ныне Театр им. Вл. Маяковского) (в 1938—1942 годах — художественный руководитель).
В 1950—1957 годах Штраух — актёр Малого театра, в 1957—1958 гг. — актёр Московского драматического театра имени А. С. Пушкина, с 1958 года — актёр и режиссёр Театра им. Вл. Маяковского.
В постановках С. М. Эйзенштейна и спектаклях В. Э. Мейерхольда Штраух проявил себя как актёр, склонный к эксцентрике и публицистическому гротеску, создал сатирические образы в пьесах В. В. Маяковского — Победоносиков («Баня»), Присыпкин («Клоп») и другие. В ряде ролей Штраух проявил себя как мастер психологического анализа и человечности — Рубинчик («Улица радости» Зархи), Руководящее лицо («Мой друг» Погодина).
Творческим успехом Максима Штрауха стало воплощение образа В. И. Ленина в спектаклях и в фильмах, поставленных режиссёром С. И. Юткевичем — «Человек с ружьём» (1938), «Яков Свердлов» (1940), «Рассказы о Ленине» (1958), «Ленин в Польше» (1966) и др.
Автор книги «Главная роль» (Москва, Всероссийское театральное общество, 1977 год).
Член правления общества «СССР — Франция».