Юрий Киселёв родился 1 (14) февраля 1914 в Семёнове (ныне в Нижегородской области, России).
В 1931—1935 учился в Школе при Камерном театре в Москве, ученик А. Я. Таирова. Участвовал в первой постановке «Оптимистической трагедии» Вс. В. Вишневского. По окончании учёбы с группой выпускников таировской студии создал молодёжный театр. Впоследствии был актёром Московского студенческого театра (1935—1936), Ворошиловградского (1936—1937) и Горьковского (1937—1938) театров юного зрителя.
В 1938 году возглавил Калининский ТЮЗ, преподавая в местном театральном училище. В 1941—1943 годах работал в Кировском драматическом театре. Во время войны участвовал в работе фронтовых театров.
В 1943 году был направлен в Саратов, где стал главным режиссёром Саратовского ТЮЗа.
Вёл педагогическую работу в студии при Саратовском ТЮЗе и в Саратовском театральном училище имени И. А. Слонова (ныне — Театральный институт Саратовской государственной консерватории им. Собинова). Среди его учеников актёры: З. Г. Спирина, В. А. Ермакова, С. В. Лаврентьева, Ю. П. Ошеров, В. А. Краснов, Т. Н. Джураева, С. В. Пускепалис.
Был заместителем председателя правления Всероссийского театрального общества, заместителем председателя Советского центра АССИТЭЖ (Международной ассоциации театров для детей и юношества).
Умер 19 декабря 1996 года в Саратове. Похоронен на Старообрядческом (Кулугурском) кладбище Саратова.