В 1929—1932 гг. обучался на театральном отделении Киевского художественного института, после окончания 3-го курса поступил на работу во Вседонецкий музыкально-драматический театр в г. Мариуполе (1933—1934 — в Константиновке, в 1934—1936 — в Сталино).
В 1936—1939 гг. служил в РККА.
Позже, актёр театров Донецка, Одессы, Винницы, Москвы, Киева.
В 1939—1942 — Центральный театр Советской Армии (г. Москва); В 1942—1944 — Театр Красной Армии Юго-Западного фронта (Воронеж); 1943—1944 — Театр Красной Армии Забайкальского фронта (Чита); 1944—1953 — Одесский театр Советской Армии при Одесском военном округе (ныне — Драматический театр Западного оперативного командования Министерства обороны Украины);
В 1953—1995 — актёр Киевского государственного русского драматического театра им. Леси Украинки (ныне Национальный академический театр русской драмы имени Леси Украинки).
Сыграл на театральной сцене 68 ролей. Стиль игры А. Анурова отличался сдержанностью и благородной простотой в сочетании с романтическим темпераментом. На сцене он всегда был собранным, добросовестным, внимательным к партнерам.