В 1918—1921 годах служил в Красной Армии. В 1921—1925 годах учился в Центральном техникуме театрального искусства (ЦЕТЕТИСе).
Актёр Московского театра Революции (1925—1943) и Московского театра драмы и комедии (1946—1959).
В 1925—1927 годах — член Ревизионной комиссии ЦК РАБИС. При Театре Революции выполнял обязанности секретаря парткома.
Александр Щагин — высокий, мощный, фактурный артист. Среди его творческих удач в Театре Революции критик Самуил Марголин выделял роли Евдокима в «Поэме о топоре» Н. Ф. Погодина (1931), называя её «актёрским крещением» Щагина, Барабоссы в «Улице радости» Н. А. Зархи (1932); сам артист к этапным для себя работам относил также роли Томаса из «Гоп-ля, мы живём» Э. Толлера и Суварина из «Истории одного убийства» (1930), по пьесе М. Андерсона и Г. Хикерсона «Боги молний[en]» об убийстве Сакко и Ванцетти — постановке, почти единодушно признанной критиками неудачной.
Творческой вершиной для Щагина стала роль Вышневского в возобновлённой в 1932 году постановке пьесы «Доходное место» по А. Н. Островскому. Критик А. А. Гвоздев на примере этой работы подчёркивает сильные стороны актёра, при этом тактично указывая на ограниченность его возможностей.
Александр Щагин снимался в кино и озвучивал мультфильмы. Наиболее известные роли — Карабас-Барабас в киносказке «Золотой ключик» (1939) и лакей в экранизации рассказа А. П. Чехова «Свадьба» (1944).
Александр Щагин скончался в 1959 году. Похоронен на Ваганьковском кладбище.