В 1921 году окончил театральную студию под руководством М. А. Чехова. С 1922 года был актёром 1-й студии МХТ. В 1927—1932 годах — актёр и режиссёр-ассистент Театра Революции. С 1935 года ставил спектакли совместно с О. И. Пыжовой, его женой. В 1934—1941 годах — педагог ГИТИСа. С 1942 был педагогом ВГИКа, где с 1949 года совместно с О. И. Пыжовой руководил актёрской мастерской. В 1949 году совместно с Ольгой Пыжовой в Центральном детском театре (ныне — РАМТ) поставил первый спектакль этого театра «Её друзья» В. С. Розова.
Среди его учеников: Вячеслав Тихонов, Руфина Нифонтова, Нонна Мордюкова, Майя Булгакова, Надежда Румянцева, Светлана Дружинина, Леонид Куравлёв, Любовь Соколова, Софико Чиаурели, Екатерина Савинова, Юрий Белов, Андрей Вертоградов, Тамара Носова и многие другие известные актёры.
После смерти Ольги Пыжовой Борис Бибиков в 1978 году женился на одной из своих учениц Малике Джурабековой и уехал с ней на её родину, в Душанбе. В течение четырёх лет преподавал в Таджикском государственном институте искусств имени М. Турсун-Заде. В 1990 году вышла книга его воспоминаний.