Эйно Баскин родился в городе Таллин, Эстонская Республика в семье коммивояжёра Хирша Рахмилевича Баскина (1900-1978) и парикмахера Марии Яковлевны (Эле-Янкелевны) Баскиной (урождённой Рааге; 1905-1984). Со стороны отца, семья происходила из Витебской губернии, со стороны матери - из Ковенской губернии. Отец увлекался театром и на протяжении нескольких десятилетий играл в самодеятельном театре таллинского еврейского общества «Бялик» на улице Карья. Во время немецкой оккупации Эстонии во время Великой Отечественной войны находился в эвакуации в Челябинской области. В 1951 году окончил Государственный театральный институт Эстонской ССР. В 1951-1957 годах был актёром Таллинского драматического театра им. Виктора Кингисеппа, в 1958-1961 годах играл на сценах ленинградских театров, в 1961-1964 был артистом разговорного жанра в Государственной филармонии Эстонской ССР. В апреле 1963 года опубликовал в еженедельнике «Sirp ja Vasar» статью «Матери и острые предметы», в которой подверг острой критике Госфилармонию ЭССР. Руководство министерства культуры ЭССР не простило актёру такой дерзости, и в январе 1964 года Баскин был арестован по сфабрикованному делу о распространении материалов порнографического характера. После того, как провёл три месяца в предварительном заключении, в апреле 1964 года был приговорён к шести месяцам лишения свободы по уголовному делу о распространении порнографии. Формальной уликой для возбуждения уголовного дела послужил тот факт, что актёр допустил откровения эротического содержания в переписке с любимой женщиной, которая впоследствии не простила Баскину женитьбы на другой и передала его письма в милицию. Находясь в заключении, Баскин руководил художественной самодеятельностью. История с арестом Баскина легла в основу сюжета рассказа Михаила Веллера «Режиссёр в эротике», вошедшего в сборник «Легенды Невского проспекта» (1993). Освободившись из заключения в июле 1964 года, Баскин был вынужден вскоре уехать в Ленинград, так как в Эстонии его не осмеливались брать на работу. Проработав в ленинградских театрах около трёх лет, в 1968 году Баскин вернулся в Эстонию, где был актёром Таллинского театра драмы имени В. Кингисеппа до 1980 года. В 1980 году основал в Таллине театр «Студия Старого города» (Vanalinnastuudio), руководителем которой являлся долгое время. В феврале 2005 года основал в столице Эстонии Театр Старого Баскина (Vana Baskini Teater).