Характерный актёр, выпускник одного из первых послевоенных выпусков ВГИКа. Снимался в фильмах: «Битва в пути», «Щит и меч», «С весельем и отвагой», «Трын-трава», «Прощание». В начале Великой Отечественной Войны добровольцем ушёл на фронт, где окончил летное училище и стал штурманом, был помощником командира взвода. Воевал Игорь Иванович в 62-й Донской армии. В 1942 году осколком мины Безяев был ранен в ногу, после чего был комиссован. Затем Безяев поступил в авиационный институт, но так его и не закончил. В 1945 году он поступил во ВГИК на курс Василия Васильевича Ванина и успешно окончил его в 1949 году. Сразу после окончания стал актёром Театра-студии киноактёра и киностудии «Мосфильм». С 1950 года Безяев начал сниматься в небольших эпизодах. В 1955 году он был приглашён Николаем Фигуровским на одну из центральных ролей в фильм по повести Галины Николаевой «Повесть об агрономе». К сожалению, фильм так и не вышел на экраны, все материалы были уничтожены. У Игоря Ивановича двое сыновей. Владимир - журналист, работает на радио «Маяк», Александр - работник московского метро. Похоронен актёр на Востряковском кладбище Москвы.