Борис Андреевич Бабочкин родился в семье железнодорожника 18 января 1904 в Саратове. Окончил сельскую школу.
Участник Гражданской войны. В пятнадцать лет комсомолец Борис Бабочкин служил в политотделе 4-й армии Восточного фронта.
В 1920-1921 годах — сотрудник театральной студии "Молодые мастера" под руководством И.Н. Певцова. Работал в Театрах Иваново-Вознесенска, Могилева, Костромы, Воронежа, Самарканда, в Московском театре имени МГСПС и Московском драматическом театре. С 1927 года — актёр ленинградского Театра сатиры. В 1931-1935 годах — работал как актёр и режиссёр в Государственном академическом театре драмы имени А.С. Пушкина. В 1935-1940 годах — актёр и режиссёр, а затем и художественный руководитель Большого драматического театра имени Горького. С 1940 года — актёр и режиссёр московского Театра имени Вахтангова. В 1948-1951 и с 1955 года — актёр и режиссёр Академического Малого театра, в 1952-1953 годах — главный режиссёр Московского театра имени А.С. Пушкина. С 1944 года преподавал во ВГИКе (с 1966 года — профессор).
Народный артист РСФСР (1935).
Народный артист СССР (28.09.1963).
Герой Социалистического труда (18.01.1974).
Жарким летним днём 1975 года недалеко от Малого театра остановилась легковая машина. Борис Андреевич успел затормозить и никому не принёс вреда, но не успел принять сердечное лекарство... Он только что отвёз в редакцию газеты "Известия" статью о IX Московском международном кинофестивале, только что побывал в Малом театре, где назначил на следующий день встречу с Игорем Владимировичем Ильинским: Борис Андреевич начинал ставить "Чайку" Чехова, и Ильинский должен был в ней играть... Скончался 17 июля 1975. Похоронен актёр в Москве на Новодевичьем кладбище (2 участок).