Родился в Тбилиси. После того, как окончил 7 классов средней школы, работал слесарем на заводе имени Калинина. Занимался в молодёжной театральной студии. В 1942 году был принят в Тбилисский русский драматический театр имени А. С. Грибоедова.
В 1943 году Ножери Давидович ушёл добровольцем в армию. Служил в войсках НКВД по охране и обороне особо важных объектов и железных дорог, был художественным руководителем ансамбля солдатской эстрады. Награждён медалями «За оборону Кавказа», «За победу над Германией», «30 лет Советской армии».
С 1950 года работал в Тбилисском русском театре юного зрителя, преподавал в студии при театре. За время работы в Тбилисском ТЮЗе был награждён грамотами Министерства культуры Грузинской ССР, Аджарской АССР, грамотами советских и партийных органов, почётными знаками «Отличник народного образования Грузии» и «Отличник культурного шефства над Вооружёнными силами СССР».
С 1962 по 1966 год работал в Тульском областном драмтеатре им. Горького, преподавал актёрское мастерство и режиссуру в Тульском педагогическом институте. Избирался членом художественного совета и режиссёрской коллегии театра. Награждён почётным знаком «Отличник Министерства культуры СССР», грамотами Министерства культуры Литовской и Латвийской ССР.
С 1966 года работал в Омском драматическом театре. С 1970 по 1987 годы — председатель Омского отделения Всероссийского театрального общества (ВТО) и Союза театральных деятелей РСФСР.
Умер 2 ноября 1987 года. Похоронен в Омске на Старо-Северном мемориальном кладбище. 27 марта 1989 года Омскому дому актёра присвоено имя народного артиста РСФСР Ножери Давидовича Чонишвили.