Рос в семье военнослужащих. Отец — Герасим Афанасьевич Григорьев, Герой Советского Союза, лётчик.
Школьные годы Юрий провёл в Риге. В 1976 году окончил Театральное училище имени Б. Щукина (курс Ю. В. Катина-Ярцева) и был принят в труппу ЦДТ (ныне РАМТ), где и работает по сей день. С 1986 года работал Дедом Морозом.
Был ведущим передач «Спокойной ночи, малыши!» и «Шишкин Лес». Также является ведущим циклов передач «Пройти сто дорог» (о жизни простых людей, живущих в разных местах России), «Аты-баты» (о военной истории России), «Рассказы о святых» (о жизни православных подвижников, истории Православия и рассказах русских писателей) и «Сказки и истории» (киноспектакли с рассказчиком-чтецом) на канале «Радость моя».
Женат. Супруга — Тамара Григорьева. Дочь — Анастасия Юрьевна Григорьева.