Родился 7 октября 1951 года в Восточном Казахстане в Курчумском районе в поселке Балыкши (ныне с. Аксуат), в многодетной семье Кали и Жазиры Жолжаксыновых. Был пятым из десяти детей. Отец писал кюи и играл на домбре, впоследствии научил играть на ней и сына. После четвёртого класса Досхан поступил в школу-интернат в 150 километрах от родного села.
В 1969 году поступил на театральный факультет Института искусств им. Курмангазы в мастерскую народной артистки СССР Хадиши Букеевой, окончив его в 1973 году.
В 1972 году (по другим данным, в 1971 году) был принят в вспомогательную труппу ТЮЗа.
В 1993 году (по другим данным, в 1995 году) назначен директором этого театра.
В 2000 году (по другим данным, в 2001 году) ушёл с этого поста по собственному желанию.