Родился в Таллине. Заслуженный артист Эстонской ССР (1964). Народный артист Эстонской ССР (1969). Народный артист СССР (1975). До 1938 года носил другое имя - Георгий Евгеньевич Кузнецов (Georgi Kuznetsov). На сцену вышел ещё в 1941 году, выступал в различных театрах и ансамблях Эстонии. В 1946 году поступил в Таллинский театральный институт, после окончания которого в 1949 году работал главным режиссёром Южно-Эстонского театра. В 1952 году стал актёром Эстонского академического театра имени В. Кингисеппа. В кино начал сниматься в 1955 году, первую свою роль, Роберта, сыграл в фильме "Счастье Андруса". Известность пришла к нему с ролью профессора О’Рейли в политическом детективе Саввы Кулиша "Мёртвый сезон", но заслуженную славу талантливый актёр снискал, блистательно воплотив на экране образ Лира в фильме Григория Козинцева "Король Лир". В числе лучших работ Юри Ярвета — роль Снаута в научно-фантастической картине "Солярис", созданной Андреем Тарковским по роману Станислава Лема. Сыграл актер также и в ещё одной экранизации научно-фантастического произведения - в "Отеле "У погибшего альпиниста" по книге братьев Стругацких. В роли жандарма графа Сегеди в телевизионном сериале "Берега", поставленном по книге Чабуа Амирэджиби, Ярвет настолько убедителен и достоверен, что нельзя не подпасть под большое обаяние его "отрицательного" героя. В числе прочих создателей этого фильма актёр был удостоен Государственной премии СССР (1981). Одна из последних работ признанного мастера - небольшая роль в фильме Георгия Юнгвальда-Хилькевича "Тайна королевы Анны, или Мушкетёры тридцать лет спустя".