Заслуженный артист РСФСР (16.08.1978). Отца Моргунов не помнил: тот ушёл, когда сыну едва исполнился год. Его мама работала в роддоме санитаркой. Когда началась война, 14-летний Женя устроился на завод в Сокольниках, где делали артиллерийские снаряды, - вытачивал болванки. А в свободное время бегал заниматься в драмкружок при Дворце культуры, ходил в театры, в консерваторию. Евгений очень хотел работать в театре, но директор завода его не отпускал. И тогда он взял и написал письмо Сталину: "Примите меня в искусство, я хочу быть таким, как Станиславский и Немирович-Данченко". Удивительно, но ему ответили. На имя директора завода пришло письмо, подписанное Сталиным, согласно которому мальчика направили в Камерный театр Таирова, во вспомогательный состав. Там Евгений постигал азы актерского искусства, а через год, в 1944 году, поступил во ВГИК, на курс Сергея Герасимова. Ему исполнилось 17 лет, он был самым молодым на курсе. Окончил Всесоюзный государственный институт кинематографии (1948, мастерская С.А. Герасимова и Т.Ф. Макаровой). В 1948-1950 и с 1953 года - актёр Театра-студии киноактёра, с 20 декабря 1950 по 15 сентября 1952 года - актёр академического Малого театра. Всенародную популярность Моргунову принесла роль Бывалого в серии кинокомедий Леонида Гайдая 60-х годов.