Родился 20 апреля 1927 года в в селе Большие Салы Мясниковского района Северо-Кавказского края (ныне — Ростовская область).
Заслуженный артист РСФСР (23.04.1965).
Отец — нахичеванский армянин. Мать — донская казачка.
В начале 1940-х годов поступил в Луганское ремесленное училище, позднее вместе с ним эвакуировался во Фрунзе, работал слесарем.
В 1943 году пятнадцатилетним подростком ушёл добровольцем на фронт.
В 1944 году, демобилизовавшись из армии, переехал в Ворошиловград (ныне Луганск), где был зачислен в труппу Ворошиловградского драматического театра.
Летом 1946 года Луспекаев переехал в Москву и подал документы в театральное училище имени Щепкина.
Окончил Театральное училище имени М.С. Щепкина (1950, курс К. А. Зубова).
С 1950 года — актёр Тбилисского театра русской драмы, с 1957 года — актёр Киевского русского драматического театра имени Леси Украинки, с 1959 года — артист Ленинградского БДТ имени Горького.
Скончался 17 апреля 1970 года от разрыва сердечной аорты.
Похоронен на Северном кладбище в Ленинграде.
На родине П.Б. Луспекаева в украинском городе Луганске в 2012 году, к 85-летию артиста, областному театру присвоено его имя – Луганский областной русский драматический театр имени Павла Луспекаева.