Борис Быстров родился в городе Москва, РСФСР, СССР. В 1966 году окончил Школу-студию МХАТ (курс А.М. Карева). После выпуска работал в театре Ленком. С 1968 года актёр Московского драматического театра имени М.Н. Ермоловой. Играл в спектаклях: «Балы и страсти Петербурга», «Невольницы», «Измена», «Как любил я Вас!», «Хищница». И по сей день он остаётся ведущим актёром этого театра. В 21 год сыграл главную роль в сказке «Волшебная лампа Аладдина». После громкого успеха в роли Аладдина Быстров снялся ещё в нескольких картинах - «Удар! Ещё удар!», «Приключения жёлтого чемоданчика», «ТАСС уполномочен заявить...» и других. С 1970-х годов и по настоящее время актёр работал на озвучивании мультфильмов и дубляже зарубежных художественных фильмов. Озвучивал Марлона Брандо во всех русских переводах. В мультипликационных сериалах «Симпсоны» и «Футурама» он озвучил все мужские роли, был нашим «голосом» медведя Балу в диснеевском мультсериале «Чудеса на виражах».