Анатолий Сливников родился в деревне Никаново, Чагодощенский район, Вологодская область, РСФСР, СССР. Мать Толи, Ефросинья Александровна, была из крестьянской семьи. Ещё при жизни она рассказывала, что родила Толю в поле по дороге в больницу, и уже с ребёнком приехала туда на телеге. Детство Анатолия прошло в деревне, где он, как рассказывал впоследствии, был единственным мальчишкой, все остальные были девочки, и потому был избалован вниманием представительниц противоположного пола. Его все любили. Отца Анатолия, Корсакова Михаила Максимовича, ещё до рождения Толи отправили в другую деревню на лесозаготовки. Отец звал Ефросинью Александровну, мать Толи, к себе, но она уехать из своей деревни отказалась. Впоследствии отец Анатолия встретил другую женщину и женился на ней. В течении всей своей жизни Анатолий ни разу не видел своего отца. Окончил Ленинградский государственный институт культуры имен Н.К. Крупской (1978, курс С.А. Чистякова). Был актером Кокчетавского театра. Летом 1985 года - Анатолий Михайлович становится участником культурной программы XII Всемирного фестиваля молодёжи и студентов в Москве. В январе 1989 года - актёр принят в члены Союза театральных деятелей РСФСР (ныне - Союз театральных деятелей РФ). С июня 1992 года - член конфедерации Союзов кинематографистов. С 1993 года - член Гильдии актёров кино Санкт-Петербурга. Анатолий Михайлович ушёл из жизни ранним утром 29 июня 2005 года в Санкт-Петербурге от крупозного воспаления лёгких. Похоронен актёр 2 июля в родовой могиле кладбища посёлка Кисельня Волховского района Ленинградской области. Большой талант, профессиональное трудолюбие, человеческое обаяние и большая, творческая любовь Анатолия Михайловича к своей профессии достойны почитания.