Борис Андреев родился в городе Саратов, Российская Империя в семье рабочих. Детские и юношеские годы прошли в Аткарске Саратовской губернии. После окончания школы-семилетки в 1930 году работал слесарем-электромонтёром на комбайновом заводе в Саратове (1930—1935). В 1933—1935 годах без отрыва от работы учился в Школе рабочей молодёжи при заводском управлении. Уже тогда начал ходить в заводской драмкружок. Заметивший его успехи известный саратовский актёр И. А. Слонов предложил ему поступить в Саратовское театральное училище (с 1933 года - имени И. А. Слонова, ныне Театральный институт Саратовской государственной консерватории им. Собинова), которое он успешно окончил в 1937 году. В 1937-1938 годах - актёр Саратовского драматического театра им. К. Маркса (с 2003 - имени И. А. Слонова). Во время гастролей театра в Москве актёра заметил кинорежиссёр И. А. Пырьев и пригласил в картину «Трактористы». Фильм вышел на широкий экран в 1939 году, в фильме актёр выступил достойно и не затерялся среди уже известных артистов. В 1938-1941 годах - актёр Киевской киностудии (ныне «Киностудия имени А. Довженко»), в 1941—1942 — Ташкентской киностудии (ныне «Узбекфильм») и ЦОКС (ныне «Казахфильм»), в 1943-1944 - Ашхабадской (ныне «Туркменфильм»), Сталинабадской (ныне «Таджикфильм») и Тбилисской киностудий (ныне «Грузия-фильм»), в 1944-1982 - Театра-студии киноактёра (ныне Государственный театр киноактёра). Во время съёмок фильмов «Трактористы» и «Истребители» приобрёл двух очень близких друзей - П. Алейникова и Н. Крючкова. Впоследствии в кругу киноактёров он называл эту компанию «святой троицей».
В 1941 году артист, будучи в крепком подпитии, позволил себе ряд резких отзывов о руководстве страны. Его заключили в СИЗО, ему грозила 58-я, «политическая» статья, однако через несколько месяцев актёра освободили по личному указанию Сталина.
В годы войны вместе с М. Бернесом снялся в легендарном фильме «Два бойца» (1943).
В этом московском доме по улице Б. Бронная, 2 Борис Фёдорович прожил последние годы своей жизни 1970—1982
В роли Ильи Журбина в фильме «Большая семья» (1954) проявилось умение актёра воплощать психологически глубокие характеры. Проникнуто эмоциональной насыщенностью исполнение Андреевым ролей Лазаря Баукина в экранизации повести Павла Нилина «Жестокость» (1959) и боцмана Росомахи в экранизации повести Виктора Конецкого «Путь к причалу» (1962). Крупнейшей работой артиста в кино стал Вожак в фильме «Оптимистическая трагедия» (1963).
Принимал участие в озвучивании мультфильмов.
Член правления Союза кинематографистов СССР. В 1960—1982 годах — председатель актёрской секции Союза.
Член ВКП(б) с 1948 года.
Борис Андреев умер 25 апреля 1982 года (по другим источникам — 21 или 24 апреля) в Москве от обширного инфаркта. Похоронен на Ваганьковском кладбище (2 уч.), хотя ему как народному артисту СССР полагалось упокоение на Новодевичьем; в 1965 году законное место на престижном кладбище он уступил своему лучшему другу Петру Алейникову.